この言葉が英語のスラングに当たるのかどうか、よく分かりません。私の辞書 (The Random House Collega Dictionary; 1975)　に載ってないので、とりあえずここで説明します。

Etymology （言葉の起こり）

This phrase was originally used in the first World War to refer to quadruple amputees, who apparently could not walk by themselves so that they had to be transported around in baskets.

この名詞句は元々第１次世界大戦の時に使われたものです。それは両手足を切断した人を指す言葉だったのです。彼らは歩くことが出来ませんでしたから、 籠の中に入れられて運ばれたわけです。

Unlike the above cartoon, this etymology sounds like a grisly legend, but it actually happened that way.

上の漫画と違って、この語句の起こりの説明は、なんだか身の毛がよだつような、ものすごい言い伝えのように聞こえます。しかし、実際、そのようなことが起こったのです。

Some say, the term connotes mental illness. Someone who is a “basket case” is usually not just hopeless but hopelessly crazy or traumatized. He remains psychologically beyond remedy.

このフレーズは精神に異常をきたしていることを暗に示している、と言う人が居ます。“basket case”であるということは、 ただ単に望みがないというのではなく、もう、望みがないほどに精神に異常をきたしていたり、絶望的なほどに心に深い傷を負っているのだと言うわけです。 つまり、精神的に不治の病に陥（おちい）っているというわけです。

However, as far as I checked around, others use this term casually—rather sarcastically without rolling their eyes as shown in the following example:

しかし、私が調べたところでは、もっと軽い意味で使う人も居るようです。つまり、目玉が飛び出すほどに驚いて言うのじゃなく、下の例文のように、 ちょっと皮肉っぽく言う場合です。

Ever since he lost his job, Jimmy has been living like a basket case.
失業してからというもの、ジミーはのらりくらりと暮らしている。

In the above case, Jimmy lives like a bum, not a hopelessly crazy or traumatized man. Maybe, he is. Who knows?

上の例文では、ジミーは浮浪者のように暮らしている、ということで、精神異常者になったとか、治すことが出来ないほどの心の傷を受けた、というわけではありません。 もしかすると、そうかもしれませんね。誰も、断定することなど出来ませんから。　

Noun phrase (名詞句)

1. a demented man, a psycho, a crazy man, a person who is hopelessly broken down
2. a weak man, a weakling
3. a disadvantaged person, a disabled person
4. a bum

1. 精神異常者、情緒不安定な人、正常な判断［行動］ができない人、精神的に不安定な人、気違い、ノイローゼ、極度に神経質になっている人、狂った個所
2. まったく無気力な人、衰弱しきったもの
3. 両手両足を失った人、四肢を切断した患者、だるま、故障して動かないもの、身の回りのことができない人、手も足も出ない人、
4. まったくの無能力者、のらくら者、浮浪児

Synonyms （同義語）

• psycho
• psychotic person
• mad person
• deranged person
• disturbed person
• gutless person
• weakling
• vagrant
• vagabond
• loon

Usage （用例・用法）

Tony has been an emotional basket case since he lost his job.
トニーは仕事を失って以来、すっかり情緒不安定になってしまった。

Mary turned into a basket case when she lost her sweetheart.
恋人を失った時、メアリーは完全に取り乱した。（気が狂ったようになった。情緒不安定になった。）

Africa was once the basket case of the planet.
アフリカはかつて、この地上の壊れ物だった。

USSR was an economic basket case before it disintegrated.
ソ連は分解するように無くなる前、経済的に駄目になっていた。

Since Jimmy failed the entrance exam to the university, he's been a basket case.
ジミーは、大学入試に失敗してから、すっかり無気力になってしまった。

After his wife left him, Norman became a real basket case.
奥さんに逃げられてから、ノーマンはほんとに駄目になった。

That firm was such a basket case that the owners had to shut it down.
あの会社はどうにもやってゆけなくなったので、会社のオーナーたちは閉めざるを得なかった。